Shared Latent Membership Enables Joint Shape Abstraction and Segmentation With Deformable Superquadrics

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1、整体方法

A. 超椭球体的定义

文章定义了一种超二次曲面，用于表示 球，圆柱，椭球，方体，八面体等图形。用超椭球面表示，超二次曲面的表面向量可用以下函数表示。

$$x = \left[\begin{aligned} x\\y\\z \end{aligned}\right]= \left[\begin{split}a_1cos^{ε_1}(η)cos^{ε_2}(ω)\\a_2 cos^{ε_1} (η) sin^{ε_2} (ω)\\a_3 sin^{ε_1} (η)\end{split}\right]$$

$−π/2 ≤ η ≤ π/2$, $−π ≤ ω ≤ π. $a := {a1, a2, a3}$ 是大小参数. $ε := {ε1, ε2}$ 是形状参数.

可变形的超二次曲面可以 对其进行线性锥化和弯曲操作。对于沿着Z轴进行线性锥化的表面向量可记录为:$x_t = \left[\begin{aligned} x_t\\ y_t\\z_t \end{aligned}\right] = \left[\begin{aligned} (\frac{k_x}{a_3}z + 1)x\\(\frac{k_x}{a_3}z + 1)y\\z\end{aligned}\right]$其中$k:={k_x,k_y}$ 称为锥度系数。
弯曲变形通过一个弯曲方向角α和曲率参数b来控制，其表面向量$x_b$被记录为$x_b = \left[\begin{aligned} x_b\\ y_b\\z_b \end{aligned}\right] = \left[\begin{aligned}x+(R-r)cosα\\y+(R-r)sinα\\(b^{-1}-(b^{-1}-r)sin(zb^{-1}))\end{aligned}\right]$
其中$r=\sqrt{x^2+y^2}cos(α-arctan\frac{y}{x})$$$$R=b^{-1}-(b^{-1}-r)cos(zb^{-1})$
因此 一个超椭球体的参数向量可以表示为$s := {a, ε, k, b, α, t, r, δ} ∈ R^{17}$ 其中${δ ∈ [0, 1]}$表示当前超椭球体在形状中的出现概率。

B.任务介绍

文章将需要预测的参数定义如下
首先针对无明显朝向的点云，文章将这样的任务转换为了一个聚类任务。假设我们用Kmeans对点云进行聚类。则聚类的目标函数可表示为:$J = \sum^M_{m=1}\sum^N_{n=1}g_{mn}||x_n-c_m||^2_2=||X-CG||^2_2$其中M个聚类的中心点可表示为$C:={C_m∈R^3}^M_{m=1}.$ $G∈R^{M×N}$表示聚类指示器其中$g_{mn}$仅能取0或1。在这种情况下，G描述了在分割中点和部分的强关联性。然而，这样的在欧式空间中的聚类中心点C缺少对于部分的几何与语义信息，又因为高位空间能够更好地去捕获部分的语义，因此我们将k-means聚类应用在了一个D维的潜在层中。$J = ||F^{pc}-F^{part}G||^2_2$其中$F^{pc}$为整体点云的特征，$F^{part}$为在潜在层中的部件特征。由于在高维空间中的表示仅仅是一些列部分特征的表达而缺乏几何信息。为了获取这些几何信息，这里利用了一系列可变的超椭球体作为基元去捕获更多部件级别的语义信息去重建每个部分。
当我们将分割结果与形状抽象相结合时，不论在欧式空间还是潜在空间，我们都能很容易地将部件替换为可变形的超椭球体。
为了将其组合起来，文章将参数空间中的可变形超椭球体映射到了与$F^{pc}$相同的潜在空间 因此 有$J = ||F^{pc}-F^{dsq}G||^2_2$
其中$F^{dsq}$为在潜在空间的可变形超椭球体。
文章提出了根据非负矩阵分解的规则，$F^{dsq}$所代表的基元特征，能够被点特征$F^{pc}$与一个权重矩阵$W∈ R^{N ×M}$所表示。
因此有$F^{dsq} = F^{pc}W$
在这里，W中的每一个元素$ω_{nm}$指的是点$x_n$与基元$s_m$之间的从属关系即，$∀m,\sum_{n=1}^Nω_{nm}=1$ 因此有：$F^{pc}≃ F^{dsq}G=F^{pc}WG$